数字控制器的离散化设计步骤
计算机控制系统框图如下图所示：
可得其闭环脉冲函数为：
$$
\Phi(z)=\frac{D(z) G(z)}{1+D(z) G(z)}
$$
其中，$G(z)=Z[H(s)G_c(s)]$，为控制对象加上零阶保持器后的离散化。
反推可知：
$$
D(z)=\frac{\Phi(z)}{G(z)(1-\Phi(z))}=\frac{\Phi(z)}{G(z) \Phi_e(z)}
$$
设计最少拍控制器，通常根据性能要求和约束条件确定所需的$\Phi(z)$和$\Phi_e(z)$，再得到$D(z)$。
最少拍有纹波控制器的设计
设计原理
根据终值定理可求出系统的稳态误差：
$$
\begin{aligned}
e(\infty) & =\lim {z \rightarrow 1}\left(1-z^{-1}\right) E(z)=\lim{z \rightarrow 1}\left(1-z^{-1}\right) R(z) \Phi_e(z) \
& =\lim _{z \rightarrow 1}\left(1-z^{-1}\right) \frac{B(z)}{\left(1-z^{-1}\right)^q} \Phi_e(z)
\end{aligned}
$$
我们希望稳态误差为0，且过渡过程步数最少，于是我们从中可以得到如下结论：
- $\Phi_e(z)$的设计与$R(z)$的阶次相关，并且我们要抵消其在$z=1$上的极点，即$\Phi_e(z)$要包含$\left(1-z^{-1}\right)^q$
- 为了步数最少，$\Phi_e(z)$中其他关于$z^{-1}$的幂次要尽可能低
此外，我们还需要考虑$D(z)$的可实现性问题和稳定性问题：
- 可实现性
$D(z)$中不能含有超前环节，即分母阶次大于等于分子，设计时若广义脉冲传递函数$G(z)$的分母比分子高N阶，则确定$\Phi(z)$时必须至少分母比分子高N阶;若被控对象有滞后特性，$\Phi(z)$中必须含有纯滞后，且滞后时间至少要等于被控对象的滞后时间。 - 稳定性
最小拍系统的设计前提是$G(z)$在单位圆上或圆外没有零极点，或能被$\Phi(z)$及$\Phi_e(z)$补偿，即：- $\Phi_e(z)$的零点中，必须包含$G(z)$在单位圆上或圆外的所有极点；
- $\Phi(z)$的零点中，必须包含$G(z)$在单位圆上或圆外的所有零点；
设计方法
综上所述，可以总结出设计最少拍有纹波控制器的一般步骤(应试):
- 求取广义对象的脉冲传递函数$G(z)=Z[H(s)G_c(s)]$
- 依据$R(z)$的阶次和$G(z)$的零极点分布确定$\Phi_e(z)$和$\Phi(z)$和的形式。由$\Phi(z)=1-\Phi_e(z)$，比较系数法得到$\Phi_e(z)$和$\Phi(z)$
- 得到调节模型
$$D(z)=\frac{\Phi(z)}{G(z) \Phi_e(z)}$$
最少拍无纹波控制器的设计
为什么会有纹波
纹波的产生在于控制信号$u(k)$无法在有限个周期内达到稳态，经过采样后给被控对象$G_c(s)$的控制信号$u(t)$无法达到稳态，使得输出产生纹波。
系统无纹波的要求
显然，无纹波最小拍系统要求$U(z)$为$z^{-1}$的有限多项式
$$U(z)=E(z)D(z)=D(z)\Phi_e(z)R(z)$$
在设计最小拍系统时，已经保证了$\Phi_e(z)$的零点完全对消$R(z)$的极点
又有：
$$D(z)\Phi_e(z)=\frac{\Phi(z)}{G(z)}$$
故只需保证$\Phi(z)$的零点完全对消$G(z)$的零点即可。
综上所述，设计无纹波系统时，只需在有纹波系统的条件下附加一条：
- $\Phi(z)$的零点完全对消$G(z)$的零点